Download Algorithmische Geometrie: Polyedrische und algebraische by Michael Joswig, Thorsten Theobald PDF

By Michael Joswig, Thorsten Theobald

In dem Lehrbuch wird eine mathematisch orientierte Einführung in die algorithmische Geometrie gegeben. Im ersten Teil werden „klassische“ Probleme und Techniken behandelt, die sich auf polyedrische (= linear begrenzte) Objekte beziehen. Hierzu gehören beispielsweise Algorithmen zur Berechnung konvexer Hüllen und die Konstruktion von Voronoi-Diagrammen. Im zweiten Teil werden grundlegende Methoden der algorithmischen algebraischen Geometrie entwickelt und anhand von Anwendungen aus Computergrafik, Kurvenrekonstruktion und Robotik illustriert. Das Buch eignet sich für ein fortgeschrittenes Modul in den derzeit neu konzipierten Bachelor-Studiengängen in Mathematik und Informatik.

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Der Graph Γ ( P ) ist der abstrakte Graph (V, E ) mit der natürlichen Inzidenz. Zeigen Sie: a. Der Graph Γ ( P ) ist zusammenhängend. b. Jede Ecke ist in mindestens n Kanten enthalten. c. Das n-Polytop P ist genau dann einfach, wenn jede Ecke in genau n Kanten enthalten ist. 3 Polarität und Dualität Das im Folgenden eingeführte Konzept der Polarität ordnet jedem Polytop P, dessen Inneres den Nullpunkt enthält, ein polares Polytop P◦ zu, so dass zu jeder k-Seite von P eine (n − k − 1)-Seite von P◦ korrespondiert.

Ein Paar ( x, y) zulässiger Lösungen der dualen LPs max {cx : Ax ≤ b} und min {yb : yA = c , y ≥ 0} heißt primal-duales Paar, wenn die Komplementaritätsbedingung y (b − Ax ) = 0 erfüllt ist. 12. Zeigen Sie für ein primal-duales Paar ( x, y), dass x ein Optimalpunkt des primalen LPs und y ein Optimalpunkt des dualen Problems ist. 13 (Starker Dualitätssatz) Für ein Paar zueinander dualer linearer Optimierungsprobleme max { cx : Ax ≤ b} und min {yb : yA = c , y ≥ 0} gilt genau eine der drei folgenden Aussagen: a.

Die Fälle, bei denen eines der Probleme unbeschränkt oder unzulässig ist, verbleiben als Übungsaufgabe. 3 Der Simplex-Algorithmus Der bekannteste Algorithmus zur linearen Programmierung ist der SimplexAlgorithmus (Dantzig, 1947). Dazu betrachten wir ein lineares Programm der Form max { cx : x ∈ P} mit P = P( A, b) = { x ∈ R n : Ax ≤ b} wie zuvor. Wir nehmen zunächst an, dass das Polyeder volldimensional, spitz ist und dass sogar eine Ecke von P bereits bekannt ist („Startecke“). Insbesondere ist hier also P nicht leer.

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