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By Kurt-Ulrich Witt

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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B) G ist zyklisch. c) G ist abelsch. 8 (4): Primzahlen besitzen keine echten Teiler, also kann G keine echten Untergruppen besitzen, da deren Ordnung Teiler der Gruppenordnung sind. Somit besitzt G nur die trivialen Untergruppen. 5 c) eine Untergruppe von G f¨ur jedes a ∈ G. Da wegen a) G außer den trivialen Untergruppen keine weiteren Untergruppen besitzt, muss a = G f¨ur a = e ein. 4 b) zyklisch. 3. 8 Sei G = (M, ∗) eine endliche Gruppe. a) Sei a ∈ G, dann ist ordG (a)|ordG . b) Sei a ∈ G, dann ist a ord G = e.

Mit (5) folgt dann |G| = [G : U ] · |U | ≥ 2 · |U | womit die Behauptung gezeigt ist. 19) Die Aussagen (1) – (3) sind Hilfsaussagen, mit denen der Satz bewiesen werden kann. Die Aussagen (6) und (7) betrachten Spezialf¨alle. Der Satz von Lagrange ist von immanenter Bedeutung in der Gruppentheorie und in ihren Anwendungen. B. bei der Verschl¨usselung von Daten sowie bei Primzahltests. 7 Sei G mit ordG ∈ P. Dann gilt: a) G besitzt außer den trivialen keine weiteren Untergruppen. b) G ist zyklisch.

25) t teilt offensichtlich txb, und nach Voraussetzung teilt t auch ab und damit ayb. 25) und damit auch die Summe b. Damit gilt die Behauptung. b) Wir nehmen an, dass p |a und p |b gilt. 1 ganze Zahlen qa und ra bzw. 27) folgt (p, ra ) = 1 bzw. (p, rb ) = 1. 28) Nach Voraussetzung ist p ein Teiler von ab. 2 h), dass p|ra rb sein muss. Da (p, ra ) = 1 und (p, rb ) = 1 ist, folgt mit a), dass p|ra und p|rb . 26) bzw. 27). 28) folgt, dass p auch kein Teiler von ab sein kann, was aber ein Widerspruch zur Voraussetzung des Satzes ist.

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